SÓLIDOS
Un sólido
geométrico es una región del espacio limitada por ciertas superficies
que pueden ser planas o curvas.
Dependiendo de las características que presentan
esas superficies, es posible realizar una clasificación, como la siguiente:
Como se puede apreciar en el cuadro, los sólidos
se clasifican en dos grandes grupos: poliedros y cuerpos redondos.
POLIEDROS
Los poliedros son cuerpos cuya superficie
limitante está compuesta exclusivamente por planos (superficie poliédrica), los
cuales conforman un número determinado de caras,
que a su vez, los segmentos generados por la intersección de caras adyacentes
constituyen las aristas del
poliedro. Estas aristas convergen en un número no inferior a tres en puntos
denominados vértices del poliedro.
Los poliedros se dividen en regulares e
irregulares. Los poliedros regulares son aquellos que tienen todas las caras que lo constituyen resultan
ser polígonos regulares iguales, presentando ángulos poliédricos idénticos.
Se
dice que dos poliedros con el mismo número de caras son semejantes cuando la
forma de sus caras poliédricas también lo es y sus ángulos poliedros resultan
iguales. Este principio tiene gran importancia al relacionar los volúmenes y
áreas de poliedros semejantes, de manera que las áreas están relacionadas con los
cuadrados de las aristas y los volúmenes con los cubos de dichas aristas.
Los
poliedros regulares son cinco: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y
dodecaedro, ver figura 1.
figura 1
Los
poliedros irregulares son aquellos que tienen caras y aristas de diferentes
tamaños. Pueden ser clasificados en prismas y pirámides, en función de la
superficie poliédrica que los limita, a su vez pueden ser rectos u
oblicuos y de base regular o irregular.
Los elementos de un prisma
son los siguientes:
Las bases: son la cara
en la que se apoya el prisma y su opuesta.
Las caras
laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La
suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.
Las aristas:
son los lados de las bases y de las caras laterales.
Los vértices:
son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.
Las diagonales:
son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del prisma. Se pueden
trazar las diagonales de una cara o entre dos caras.
Los prismas se nombran
según sea el polígono de sus bases: prisma triangular, cuadrangular,
pentagonal, hexagonal, entre otros. Ver figura 2.
figura 2
Para
generar una superficie prismática se necesita una generatriz, un eje y una
directriz. Ver figuras 3 y 4.
figura 3
figura 4
Los elementos de una pirámide
son los siguientes:
La base: es la cara en la que se apoya la
pirámide.
Las caras laterales: son las caras que comparten uno de sus lados
con la base. La suma de sus áreas es la superficie lateral de la pirámide.
Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.
Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de
aristas.
Las apotemas: son las alturas de las caras laterales de la
pirámide.
Las pirámides tienen una sola base, que
es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un
vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Se nombran de
acuerdo con esa base como pirámide triangular, pirámide cuadrangular, pirámide pentagonal,
pirámide hexagonal, entre otras. Ver figura 5.
figura 5
Para
generar una superficie piramidal se necesita una generatriz, un eje, una directriz
y un vértice. Ver figuras 6 y 7.
figura 6
figura 7
Investigar:
1.
Los conceptos de: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y dodecaedro.
2.
Los poliedros regulares son poliedros convexos, es decir, su superficie
poliédrica no tiene más de dos puntos comunes a una recta que pertenezca al
plano de alguna de sus caras, por lo que cumple con el Teorema de _________ cuya
expresión es _______________.
3.
Nombra al menos cuatro propiedades de los poliedros regulares.
4.
Los conceptos de prisma y pirámide.
5.
¿Cuáles son las secciones más importantes desde el punto de vista geométrico en
cualquier prisma recto de base regular o pirámide recta de base regular?
6.
Traer para el día 20 de enero de 2014 elaborado cuatro poliedros (dos regulares
y dos irregulares).
1
17 comentarios:
Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), "muchas" y de έδρα (edra), "base", "asiento", "cara".
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional
1- Los conceptos de tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y dodecaedro:
Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular.
El tetraedro es el símplex tridimensional.
Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo una figura de los llamados sólidos platónicos.
Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.
Un hexaedro es un poliedro de seis caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras han de ser polígonos de cinco lados o menos. Si las seis caras del hexaedro son cuadrados congruentes, el hexaedro se denomina regular(cuerpo frecuentemente conocido como cubo), siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.
Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular.
3- propiedades de de los poliedros regulares.
Regularidad.
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:
-Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
-En todos los vértices concurren el mismo número de caras y de aristas.
-Todas las aristas tienen la misma longitud.
-Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
-Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.
SIMETRIA:
Los sólidos platónicos son simétricos:
-Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
-Todos ellos tienen simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
-Todos ellos tienen simetría especular respecto a una serie de planos de simetría, que los dividen en dos partes iguales.
Se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de Simetría del poliedro:
-Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
-Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
-Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.
4- PRISMA: Un prisma es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.
-PIRAMIDE: Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.
Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. El tetraedro es el símplex tridimensional.
Octaedro
Un poliedro (un objeto sólido de lados planos) con 8 caras.
Si es "regular" (todas las caras son iguales) es uno de los sólidos Platónicos.
Un icosaedro regular es un poliedro regular formado por 20 triángulos equiláteros iguales.
Un hexaedro
es un poliedro de seis caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras han de ser polígonos de cinco lados o menos. Si las seis caras del hexaedro son cuadrados congruentes, el hexaedro se denomina regular (cuerpo frecuentemente conocido como cubo), siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.
Dodecaedro
Un A poliedro (Objeto sólido con caras planas) de 12 Caras.
Si es "regular" (todas las caras iguales) es uno de los sólidos platónico
Los poliedros regulares son aquellos que tienen todas las caras , aristas, angulos etc. iguales entre si.
El prisma: tiene todas las aristas longitudinales paralelas entre si. puede ser: rectos y oblicuos.
la piramide: es un solido que tiene un vertice , al que convergen, las aristas lngitudinales y una base.
propiedades de los poliedros regulares
Simetría
Una de las caracter sticas m as importantes de los poliedros regulares es su simetría ia. En esta actividad se trabaja con los planos de simetría a de los poliedros,
se deja un poco al margen los ejes de simetría a de los poliedros, no porque no
carezcan de importancia, si no por la di cultad que los alumnos tienen para su
visualizaci on
Dualidad
La dualidad que se da entre los poliedros regulares, incide en la propiedad de
regularidad que hay entre ellos.
Regularidad.
todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
En todos los vértices concurren el mismo número de caras y de aristas.
En definicion: los poliedros regulares son aquellos que tienen todas las caras , aristas, angulos etc. iguales entre si.
profe soomos katerin y yoile que se nos iso dificil abrir un correo gmail octamos por utilizar el de la hija de luzardo esperamos que nos lo balga un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares
Un poliedro (un objeto sólido de lados planos) con 8 carasSIMETRIA:
Los sólidos platónicos son simétricos:Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional
Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. El tetraedro es el símplex tridimensional.
Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. El tetraedro es el símplex tridimensional.
Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo una figura de los llamados sólidos platónicos.
Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro
Un hexaedro es un poliedro de seis caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras han de ser polígonos de cinco lados o menos. Si las seis caras del hexaedro son cuadrados congruentes, el hexaedro se denomina regular (cuerpo frecuentemente conocido como cubo), siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos
Un dodecaedro (del griego δώδεκα, ‘doce’ y ἕδρα; ‘asiento’, ‘posición’, en geometría ‘cara’) es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos Recientes investigaciones científicas han propuesto que el espacio dodecahédrico de Poincaré sería la forma del Universo[1][2][3] y en el año 2008 se estimó la orientación óptima del modelo en el cielo
Poliedro regular
Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes, que se juntan en la misma forma alrededor de cada vértice del polígono.
Un poliedro regular es identificado por su símbolo de Schläfli de la forma {n, m}, donde n es el número de lados en una cara, y m el número de caras que se encuentran en un vértice.Estos poliedros son casi normales a los otros si no que tienen una sola diferencia y es que son regulares.
Los nueve poliedros regulares
Existen 5 tipos de poliedros regulares, y se dividen en 2 familias: Los poliedros convexos y los poliedros cóncavos.
Poliedros regulares convexos
Existen cinco poliedros convexos
Artículo principal: Sólidos platónicos.
Tetraedro {3, 3}
Hexaedro {4, 3}
Octaedro {3, 4}
Dodecaedro {5, 3}
Icosaedro {3, 5}
Los cinco poliedros regulares convexos fueron observados por Platón, quien maravillado por sus propiedades, asoció cada uno de ellos a un "elemento" primigenio de su filosofía (aire, agua, tierra y fuego). Curiosamente, asoció el dodecaedro al "quinto elemento" o ente espiritual de su teoría de la materia. En esta estructura de pensamiento muchos ven la génesis de la teoría molecular, pues muchos elementos cristalinos tienen una estructura atómica que obedece a la forma de tales poliedros.
Poliedros regulares no convexos
Artículo principal: Sólidos de Kepler-Poinsot.
A parte de los cinco poliedros regulares convexos, existen otros cuatro poliedros regulares cóncavos, conocidos como sólidos de Kepler-Poinsot
El prisma: tiene todas las aristas longitudinales paralelas entre si. puede ser: rectos y oblicuos.
la piramide: es un solido que tiene un vertice , al que convergen, las aristas lngitudinales y una base.
. Los conceptos de: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y dodecaedro.
Solo existen cinco poliedros regulares:
• El tetraedro formado por 4 caras que son triángulos equiláteros iguales.
• El hexaedro o cubo formado por 6 caras que son cuadrados iguales.
• El octaedro formado por 8 caras que son triángulos equiláteros iguales.
• El dodecaedro formado por 12 caras que son pentágonos regulares iguales.
• El icosaedro formado por 20 caras que son triángulos equiláteros iguales.
TETRAEDRO y PIRÁMIDES
Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros iguales.
Es una pirámide triangular regular.
Los elementos fundamentales de una pirámide o de un tetraedro son caras, aristas, altura, apotema y vértices.
Las caras pueden ser:
Base es un polígono cualquiera en el caso de la pirámide o un triángulo equilátero en el tetraedro.
Caras Laterales son triángulos equiláteros o isósceles.
Las aristas pueden ser:
Aristas Basicas son los lados de las bases.
Aristas Laterales son los lados de las caras laterales que no son las aristas básicas.
Los vértices pueden ser:
Vértices de la Base son los vértices del polígono de la base.
Vértice o cúspide de la pirámide es el punto donde se encuentran las aristas laterales.
La altura es la distancia que hay desde el vértice o cúspide de la pirámide hasta la base.
La apotema es la altura de los triángulos de las caras laterales.
Dos prismas importantes son el cubo y el ortoedro.
• El cubo es un prisma que tiene seis caras que son cuadrados iguales. Por eso el cubo es un poliedro regular.
• El ortoedro es un prisma que tiene las seis caras rectangulares
OCTAEDRO
Un octaedro es un poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros iguales.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.
DODECAEDRO
Un dodecaedro regular es un poliedro regular formado por 12 pentágonos regulares iguales.
Un icosaedro regular es un poliedro regular formado por 20 triángulos equiláteros iguales
ICOSADEDRO
CUBO O HEXAEDRO
2. Los poliedros regulares son poliedros convexos, es decir, su superficie poliédrica no tiene más de dos puntos comunes a una recta que pertenezca al plano de alguna de sus caras, por lo que cumple con el Teorema de Euler cuya expresión es C + V = A + 2 o C + V - A = 2
caras + vértice = arista + 2
3. Nombra al menos cuatro propiedades de los poliedros regulares.
La combinación de poliedros regulares desarrolla superficies poliédricas que pueden ser aprovechadas en arquitectura, ingeniería, diseño industrial
Las combinaciones de poliedros regulares pierden regularidad pero a la vez mantienen varias de las propiedades de los propios poliedros regulares. La mayoría de los poliedros arquimedianos tienen iguales valores angulares, lo que se puede aprovechar para generar empaquetamientos y agregaciones. El sistema poliédrico es tan estable que permite elevar estructuras altas y resistentes con materiales tan ligeros como el Bambú.
La combinación de poliedros regulares se utiliza a menudo en diseño industrial y también en Arquitectura para células constructivas, habitaciones, Mallas espaciales planas, Cúpulas geodésicas, etc., e incluso en épocas anteriores para cúpulas de piedra (bóvedas de crucería renacentistas). Las combinaciones poliédricas también aparecen en la naturaleza, tanto en la estructura de diversos minerales como en elementos estructurales de seres vivos.
El Tetraedro Regular es el punto de partida para Escolleras que necesitan una resistencia especial. El Tetrapodo, cuatro conos de revolución situados desde los vértices hasta el centro de un Tetraedro, se utiliza en las escolleras del norte de Francia desde los años 50 y en las costas de Sudáfrica se usa el Dolos, asimismo conos de revolución dispuestos basándose en la figura del Tetraedro Regular.
4. Los conceptos de prisma y pirámide.
Prismas
Prismas rectos
Los prismas rectos son aquellos cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.
- Prismas de base triangular: posee 5 caras, 9 aristas y 6 vértices. Sus caras basales corresponden a triángulos.
- Prismas de base cuadrangular: posee 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
* Cubo: prisma que posee 6 caras cuadradas e iguales, 12 aristas y 8 vértices.
* Prisma de base rectangular: posee 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Sus caras basales corresponden a rectángulos.
- Prisma de base pentagonal: posee 7 caras, 15 aristas y 10 vértices. Sus caras basales corresponden a pentágonos.
Como puedes observar, los prismas son cuerpos geométricos formados por líneas rectas.
Pirámides
Como puedes ver, hay pirámides que poseen una base de tres lados y por lo tanto, tienen tres caras laterales, como la del dibujo de la izquierda; y otras cuya base tiene cuatro lados y por lo tanto, tienen cuatro caras laterales, como la de la derecha.
5. ¿Cuáles son las secciones más importantes desde el punto de vista geométrico en cualquier prisma recto de base regular o pirámide recta de base regular?
Sus caras
hola como esta soy karen r
hola profesora somos monica diaz y enyilimar romero
Los conceptos de: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y dodecaedro.
Solo existen cinco poliedros regulares:
• El tetraedro formado por 4 caras que son triángulos equiláteros iguales.
• El hexaedro o cubo formado por 6 caras que son cuadrados iguales.
• El octaedro formado por 8 caras que son triángulos equiláteros iguales.
• El dodecaedro formado por 12 caras que son pentágonos regulares iguales.
• El icosaedro formado por 20 caras que son triángulos equiláteros iguale
ETRAEDRO y PIRÁMIDES
Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros iguales.
Es una pirámide triangular regular.
Los elementos fundamentales de una pirámide o de un tetraedro son caras, aristas, altura, apotema y vértices.
Las caras pueden ser:
Base es un polígono cualquiera en el caso de la pirámide o un triángulo equilátero en el tetraedro.
Caras Laterales son triángulos equiláteros o isósceles.
2. Los poliedros regulares son poliedros convexos, es decir, su superficie poliédrica no tiene más de dos puntos comunes a una recta que pertenezca al plano de alguna de sus caras, por lo que cumple con el Teorema de Euler cuya expresión es C + V = A + 2 o C + V - A = 2
caras + vértice = arista + 2
3. Nombra al menos cuatro propiedades de los poliedros regulares.
La combinación de poliedros regulares desarrolla superficies poliédricas que pueden ser aprovechadas en arquitectura, ingeniería, diseño industrial
Las combinaciones de poliedros regulares pierden regularidad pero a la vez mantienen varias de las propiedades de los propios poliedros regulares. La mayoría de los poliedros arquimedianos tienen iguales valores angulares, lo que se puede aprovechar para generar empaquetamientos y agregaciones. El sistema poliédrico es tan estable que permite elevar estructuras altas y resistentes con materiales tan ligeros como el Bambú.
La combinación de poliedros regulares se utiliza a menudo en diseño industrial y también en Arquitectura para células constructivas, habitaciones, Mallas espaciales planas, Cúpulas geodésicas, etc., e incluso en épocas anteriores para cúpulas de piedra (bóvedas de crucería renacentistas).
4. Los conceptos de prisma y pirámide.
Prismas
Prismas rectos
Los prismas rectos son aquellos cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.
- Prismas de base triangular: posee 5 caras, 9 aristas y 6 vértices. Sus caras basales corresponden a triángulos.
- Prismas de base cuadrangular: posee 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
* Cubo: prisma que posee 6 caras cuadradas e iguales, 12 aristas y 8 vértices.
* Prisma de base rectangular: posee 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Sus caras basales corresponden a rectángulos.
- Prisma de base pentagonal: posee 7 caras, 15 aristas y 10 vértices. Sus caras basales corresponden a pentágonos.
Las aristas pueden ser:
Aristas Basicas son los lados de las bases.
Aristas Laterales son los lados de las caras laterales que no son las aristas básicas.
Los vértices pueden ser:
Vértices de la Base son los vértices del polígono de la base.
Vértice o cúspide de la pirámide es el punto donde se encuentran las aristas laterales.
La altura es la distancia que hay desde el vértice o cúspide de la pirámide hasta la base.
La apotema es la altura de los triángulos de las caras laterales.
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